matriks invers

Bab 5. Matriks Invers

5.1. Matriks Invers
Definisi :
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = In . Matriks B disebut invers matriks A ditulis A-1, merupakan matriks bujur sangkar berordo n.
Contoh :
Carilah invers dari matriks A =
Misal A-1 = maka berlaku =
Sehingga =
diperoleh 4 buah persamaan :




Dari 4 persamaan tersebut diperoleh :

Jadi A-1 =
Catatan :
Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang non singular.
Inver bila ada adalah unik atau tunggal atau hanya satu.
 Berlaku sifat :  (A-1 ) -1 = A
 (AB) -1 = B-1 A-1


5.2. Matriks Adjoin (Classical Adjoint) dan Invers.
Misal matriks A = . Dan Kofaktor Aij , maka transpose dari matriks disebut Matriks Adjoin dari A.
Adj.A =
Contoh :
Tentukan matriks ajoin dari A =

Rumus : Adj A =
Agar lebih mudah : Pasangkan tanda pada matriks terlebih dahulu kemudian hitung minor pada masing-masing elemen pada tiap-tiap baris dan kolom.
Adj.A =
Jadi adj A =
Menentukan Invers suatu Matriks dengan Matriks Adjoin.
Rumus : A-1 = , Det.A  0
Contoh :
Tentukan invers dari matriks A =
Det. A = = 2
Adj. A = =
A-1 =
5.3. Hubungan dgn Transformasi Elementer
a. Bentuk Normal Suatu Matriks ( matriks yang mengandung matriks Identitas )
, , ,
Bentuk matriks berukuran ( mxn )dengan rank r > 0, selalu dapat diubah dengan transformasi elementer menjadi salah satu bentuk normal di atas.
Contoh :
A = dengan menggunakan transformasi elementer baris dan kolom dapat diubah ke bentuk normal : =



b. Mencari Invers dgn transformasi Elementer ( Cara Penyapuan )
Matriks bujur sangkar A berordo n yang non singular mempunyai bentuk normal In , maka selalu ada matriks bujur sangkar P dan Q sedemikian sehingga PAQ = In , di mana P di dapat dari sederetan transformasi elementer baris dan Q dengan sederetan transformasi elementer kolom terhadap matriks In . Dari PAQ = In diperoleh A-1 = QP ( yaitu dengan mengalikan ruas kiri dan kanan dengan P-1 dan Q-1 diperoleh A = P-1 Q-1 A = (QP)-1 )
Contoh :
A =



Cara Menentukan Matriks P :
dengan transformasi elementer baris H21(-1) , H31(-2) , H32(1) , H3(1/7) diperoleh matriks :


di peroleh matriks P =
Cara Menentukan Matriks Q :
dengan menggunakan transformasi elementer kolom K21(-3), K31(-2), K32(-4) diperoleh matriks :


diperoleh matriks Q =
Jadi A-1 = Q P = 1/7



5.4. Invers Kiri dan Kanan dari matriks yang tidak Bujur Sangkar.
Definisi :
Matriks A berukuran ( mx n ) disebut Invers Kiri , bila ada matriks B sedemikian sehingga BA = In (In adalah matriks identitas ordo n ). Dan disebut Invers Kanan , bila ada matriks C sedemikian sehingga AC = Im (Im adalah matriks identitas ordo m )
Catatan :
1. Matriks A ukuran (mxn) hanya mempunyai invers kiri, bila rank (A) = n , invers kanan bila rank(A) = m , dan tidak mempunyai invers kiri dan kanan bila rank(A)  m  n
2. Ukuran invers kiri maupun invers kanan adalah (nxm)
3.Jika matriks A mempunyai invers maka invers tersebut salah satuu saja kiri saja atau kanan saja.
4. Invers kiri atau kanan tidak tunggal.
5. Langkah – langkah menentukan invers :
1. Tentukan rank matriks A
2. Jika rank ( A ) = salah satu dari ukurannya maka invers kiri atau kanan
3. Untuk menentukan invers kiri atau kanan, ambil submatriks bujur sangkar ordo r = rank (A) yang non singular dengan cara menghilangkan baris atau kolom.
4. Tentukan invers submatriks tersebut.
5. Tambahkan baris atau kolom sesuai dengan jika tadi pada langkah 3 menghilangkan sebuah baris ke - i maka kita tinggal tambahkan sebuah kolom ke-i dengan kolom yang elemennya nol semua.
Contoh :
Tentukan invers dari A = ukuran matriks (2x3)
Rank (A) = 2 , jadi A mempunyai invers kanan.
Ambil sub matriks ordo 2 : Misal B = yaitu dengan menghilangkan kolom 3 matriks A.
B-1 = -1/3 maka A-1 = 1/3
Dengan cara yang sama untuk submatriks dengan menghilangkan kolom 1 atau 2