himpunan

A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda yang mempunyai syarat dan ketentuan. Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.




Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Sejarah Ditemukannya Himpunan

Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor(1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertamakali cabang matematika ini. Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama mengenai tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga.


Bunga salju Koch adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.
Kontribusi dari analisis klasik
Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstraß yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.
Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.
Aspek dari deskripsi himpunan
Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.



Contoh

Pohon dan pakis adalah contoh fractal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detil yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.
Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detil yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Notasi Himpunan





Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{} atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa

B. CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
Untuk menyatakan suatu himpunan pada umumnya dipakai tiga cara, yaitu:
1. Cara tabulasi / pendaftaran (roster method)
Yaitu menyatakan himpunan dengan mendaftar semua anggota – anggotanya. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
Contoh :




2. Cara deskripsi
Yaitu menyatakan himpunan dengan menuliskan syarat – syarat keanggotaannya. Tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Contoh:




3. Cara pencirian (ruler method)
Yaitu cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya.
Contoh :

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

C. MACAM – MACAM HIMPUNAN
Berdasarkan banyaknya anggota himpunan dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Himpunan berhingga (finite set)
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah atau anggota dari suatu himpunan banyaknya dapat dihitung.

Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
c. C =
n(C) = 7, 7 bilangan cacah.
b. Himpunan tak berhingga (in finite set)
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q=
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir atau banyaknya anggota dari suatu himpunan tidak dapat dihitung. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.



Selain itu masih ada beberapa jenis himpunan yaitu:

1. Himpunan semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakan himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
2. Himpunan bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpuan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B dikatakan superset dari A. notasinya .
Dinotasikan dengan :
dibaca “ A himpunan bagian dari himpunan B”
, dibaca “ A bukan himpunan bagian dari himpunan B”
Contoh:
Misalkan A = { 1, 2, 3 } dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka .
3. Himpunan kosong
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan  (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A =  atau A = dan n(A) = 0.
Perhatikan contoh di bawah ini!
1. B =
2. C =
3. D =
4. E = dan F =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .

4. Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A =
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B =
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
5. Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.

Contoh 9:
R =
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.
6. Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.
b. Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.
Tetapi 0 R dan 3 Q.
Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A = dapat ditulis
b. B = dapat ditulis
7. Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 12
R =
Hubungan Antar Himpunan
1. Himpunan yang Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya. Notasinya A = B <—> A B.
Contoh:
Jika A = { a, b, c } dan B = { c, a, b } maka A = B
2. Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasinya A ~ B <—> n(A) = n(B)
Contoh:
Jika A = { 1, 2, 3,4 } dan B = { s, a, p, i } maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4

D. KEANGGOTAAN SUATU HIMPUNAN
Jika suatu obyek x adalah elemen dari sebuah himpunan A, artinya A memuat x sebagai salah salah satu dari elemen-elemen maka ditulis x A. Yang dapat dibaca “ x termasuk A “ atau “x di dalam A “. Jika di pihak lain suatu obyek x bukanlah anggota suatu himpunan A, artinya A tidak memuat x sebagai salah satu dari elemen-elemen maka dapat ditulis x A. Jika B= { 1, 3, 5, 6 } maka 1 B, 5 B, 2 B, 4 B.
9 5 8 6 7 4 2 1 3
2 3 7 8 1 9 4 5 6
4 6 1 5 2 3 9 8 7
6 9 3 2 5 1 8 7 4
8 1 2 4 6 7 5 3 9
5 7 4 3 9 8 1 6 2
1 8 6 9 3 2 7 4 5
7 2 5 1 4 6 3 9 8
3 4 9 7 8 5 6 2 1


1. Di dalam satu kolom harus di isi angka 1-9 dan tidak boleh berulang
2. Di dalam satu baris harus di isi angka 1-9 dan tidak boleh berulang
3. Di 9 kotak kecil harus di isi angka 1-9 dan juga tidak boleh berulang