himpunan part 2

BAB I
HIMPUNAN
A. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua hipotesis yang mungkin logis hubungan antara koleksi terbatas set (kelompok benda . Mereka digunakan untuk mengajar dasar teori himpunan , serta menggambarkan hubungan diatur sederhana dalam probabilitas , logika , statistik , linguistik dan ilmu komputer .
diagram Venn biasanya terdiri tumpang tindih lingkaran .Bagian dalam lingkaran simbolis merupakan elemen dari himpunan, sedangkan bagian luar merupakan unsur yang tidak menjadi anggota dari himpunan. Misalnya, dalam satu set diagram Venn-dua, satu lingkaran dapat mewakili semua kelompok kayu objek, sedangkan lingkaran yang lain mungkin mewakili himpunan semua tabel.. Daerah tumpang tindih atau persimpangan kemudian akan mewakili himpunan semua meja kayu. selain dapat digunakan kalangan Bentuk, dan ini diperlukan lebih dari tiga set.
Diagram Venn sangat mirip dengan diagram Euler , tetapi sedangkan diagram Venn untuk set komponen n harus berisi semua n 2 zona hipotetis mungkin sesuai dengan beberapa kombinasi yang disertakan atau dikecualikan dalam masing-masing set komponen, diagram Euler hanya berisi zona sebenarnya mungkin dalam konteks tertentu. Dalam diagram Venn, zona teduh mungkin merupakan sebuah zona kosong, sedangkan di diagram Euler zona yang bersangkutan akan hilang dari diagram Misalnya, jika satu set merupakan produk susu "" dan lain "keju", maka diagram Venn berisi zona untuk keju yang tidak produk-produk susu. Dengan asumsi bahwa dalam konteks "keju" berarti beberapa jenis produk susu, diagram Euler akan memiliki zona keju sepenuhnya terkandung dalam zona-produk susu, tidak ada zona untuk (tidak ada) keju non-susu Ini berarti bahwa jumlah kontur meningkat, diagram Euler biasanya kurang visual kompleks daripada diagram Venn setara, terutama jika jumlah-kosong persimpangan non kecil
SEJARAH

Diagram Venn diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn (1834-1923) dalam sebuah makalah berjudul "Pada diagram dan Mekanik Representasi proposisi dan Reasonings" dalam "Philosophical Majalah dan Jurnal Ilmu", tentang cara-cara yang berbeda untuk mewakili proposisi oleh diagram .Penggunaan jenis diagram dalam logika formal , menurut Ruskey dan M. Weston (2005), adalah "bukan sejarah yang mudah dilacak, tapi yang pasti bahwa diagram yang populer terkait dengan Venn, di Bahkan, jauh lebih awal yang berasal. Mereka benar terkait dengan Venn, Namun, karena ia komprehensif mengamati dan diresmikan penggunaannya, dan adalah yang pertama untuk menggeneralisasi mereka ".
Dalam kalimat pembuka nya artikel Venn 1880 menyatakan: "Skema representasi diagram telah begitu akrab diperkenalkan ke risalah logis selama terakhir abad atau lebih, bahwa banyak pembaca, bahkan mereka yang telah membuat studi noprofessional logika, mungkin seharusnya berkenalan dengan bangsa umum dan objek perangkat tersebut Dari skema ini satu-satunya, yaitu.. yang biasa disebut "lingkaran Eulerian, "telah bertemu dengan penerimaan umum ...".Yang pertama untuk menggunakan Venn "diagram Istilah" Clarence Irving Lewis pada tahun 1918, dalam bukunya "A Survey of Symbolic Logic".
Diagram Venn sangat mirip dengan diagram Euler , yang ditemukan oleh Leonhard Euler (1708-1783) di abad ke-18. [6] M. E. Baron telah mencatat bahwa Leibniz (1646-1716) di abad ke-17 dihasilkan diagram yang sama sebelum Euler, Namun, banyak itu tidak diterbitkan. Dia juga mengamati bahkan diagram Euler-seperti sebelumnya oleh Ramon Lull di abad ke-13
Dalam diagram Venn abad ke-20 dikembangkan lebih lanjut. DW Henderson pada tahun 1963 menunjukkan bahwa keberadaan diagram Venn-n dengan n kali lipat simetri rotasi tersirat bahwa n adalah prima Ia juga menunjukkan bahwa seperti diagram Venn simetris ada jika n adalah 5 atau 7. Pada tahun 2002 Peter Hamburger menemukan diagram Venn simetris untuk n = 11 dan pada tahun 2003, Griggs, Killian, dan Savage menunjukkan bahwa diagram Venn simetris ada untuk semua bilangan prima lainnya Jadi simetris diagram Venn ada jika dan hanya jika n adalah bilangan prima.
.Diagram Venn dan diagram Euler dimasukkan sebagai bagian dari instruksi dalam teori himpunan sebagai bagian dari matematika baru gerakan pada 1960-an. Sejak itu, mereka juga telah diadopsi oleh bidang kurikulum lain seperti membaca.

B. HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan smesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.

Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.



Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:

1.digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.

2. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

3. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutupsederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan .
. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakn himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =

C. OPERASI HIMPUNAN
Gabungan (Union)
Gabungan dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan semua elemen anggota A atau anggota B
A B = { x | x S , x A atau x B }





Irisan ( Interseksi )
Irisan dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan semua elemen dalam S sedemikian hingga x adalah anggota A dan sekaligus anggota B
A B = { x | x S , x A dan x B }







Komplemen
Komplemen himpunan A (ditulis Ac atau atau ~ A) adalah himpunan semua elemen x dalam S sedemikian hingga x bukan anggota A.
Ac = { x | x S, x A }






Selisih

Selisih himpunan B dari himpunan A (ditulis A - B) adalah himpunan semua elemen dalam S sedemikian hingga x adalah anggota A tetapi bukan anggota B
A - B = { x | x S , x A dan x B }








Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup dari dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan yang elemennya ada pada A atau B tetapi tidak pada keduanya.

A B = (A B) – ( A B) = (A – B) ( B – A)




Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A, B, C adalah himpunan – himpunan dalam S, maka operasi himpunan memenuhi beberapa hukum berikut :
1. Hukum Komutatif
A B = B A ; A B = B A ; A B = B A
2. Hukum Asosiatif
( A B ) C = A ( B C ) ;
( A B ) A = A ( B A ) ;
( A B ) C = A ( B C )
3. Hukum Distributif
( A B ) C = ( A C ) ( B C );
( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ;
4. Hukum Identitas
A  = A ; A S = A ; A  = A
5. Hukum Null
A S = S ; A  =  ; A A = 
6. Hukum Komplemen
A Ac = S ; A Ac = 
7. Hukum Idempoten
A A = A ; A A = A
8. Hukum Involusi
( Ac ) c = A
9. Hukum Absorbsi (penyerapan)
A ( A B ) = A ; A ( A B)
10 Hukum de Morgan
( A B ) c = Ac Bc ; ( A B) c = Ac Bc
11. Hukum I / O
 c = S ; S c = 












BAB I I
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan (Aturan Perkalian dan Penjumlahan)
Jika suatu peristiwa terjadi dengan p cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan :
a. m.n cara berbeda (aturan perkalian)
yang ditandai dengan kata perangkai “ dan “
b. (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)
Yang ditandai dengan kata perangkai “atau”
Contoh ;
Seorang anak akan menempuh perjalanan dari kota A ke C dengan rute perjalanan sebagai berikut :





Dari gambar di atas, terlihat ada 6 rute berbeda dari kota A ke C, yang diperoleh dari 2 rute dari A ke B dan masing-masing 3 rute dari B ke C, sehingga banyaknya rute dari A ke C adalah 2.3 = 6 rute berbeda.
Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)
Dalam pembahasan mengenai filling slots ini biasanya berkaitan dengan angka atau bilangan. Contoh
Disediakan bilangan-bilangan 1,2,3,4 dan 5 yang akan dibuat nomor peserta yang terdiri dari 3 angka. Beberapa banyak bilangan ganjil yang dapat terbentuk jika tidak boleh terdapat angka yang sama.
Jawab : untuk menyelesaikan soal di atas buatlah 3 kotak

I II III
Karena yang diminta bilangan ganjil, maka yang dapat menempati kotak/ kolom ke III hanya 3 angka yaitu : 1, 3 dan 5. Setelah kolom III terisi kemudian kotak ke III diisi dengan angka lain yang belum diletakkan di kotak III yaitu 5-1 = 4, demikian seterusnya untuk kotak satu dengan 4-1 = 3 angka.
Secara skema seperti berikut :

Jadi banyak bilangan = 3 . 4 . 3 = 36 angka

B. PERMUTASI
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut permutasi.
Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :

MACAM-MACAM PERMUTASI
Permutasi pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.
Permutasi tanpa pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.
Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.
Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:
karena 0! = 1! = 1
Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.
Permutasi-k dari n benda
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
ab ac ad
ba bc bd
ca cb cd
da db dc
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
abc abd acb acd adb adc
bac bca bad bda bcd bdc
cab cba cad cda cbd cdb
dab dba dac dca dbc dcb
Permutasi siklis
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.
h a
g b
f c
e d
Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:
abcdefgh
bcdefgha
cdefghab
defghabc
efghabcd
fghabcde
ghabcdef
habcdefg
Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.
a bcdefgh
--------
^ bagian yang dipermutasikan
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n − 1)!.



SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1) Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
jawabi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
2) Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab : Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
3) Sebuah panitia yang terdiri dari enam orang terdiri dari Ali, Budi, Cokro, Dewi, Edi, dan Franky akan memilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara pemilihan ini bisa dilaksanakan ?
Jawab : Pengurus bisa dilakukan dalam tiga langkah berurutan : pilihlah ketua, pilihlah sekretaris, dan pilihlah bendahara. Ketua bisa dipilih dalam 6 cara. Begitu, ketua telah dipilih, sekretaris bisa dipilih dalam 5 cara. Setelah pemilihan ketua dan sekretaris, bendahara bisa dipilih dalam empat cara. Oleh karena itu menurut prinsip perkalian, jumlah total dari kemungkinan-kemungkinan itu adalah
6.5.4 = 120 cara.
4) Dari 40 nomor rekening akan diundi 3 untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama akan memperoleh uang tunai $1000, undian urutan kedua memperoleh paket wisata dan undian urutan ketiga memperoleh sebuah sedan. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas satu hadiah?
Jawab : = 59280
5) Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.
Jawab : Ada berapa cara pemisahan?

B. KOMBINASI
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.
Kombinasi r dari n obyek adalah

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.
MACAM MACAM KOMBINASI
Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.
Kombinasi pengulangan
Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1. Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?
Jawab : N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer =
2. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada berapa cara.?
Jawab :

3. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah ….
Jawab : Ini adalah soal kombinasi : dimana

4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah ….
jawab :n(A) = banyaknya muncul kejadian 2 bola merah dan 1 bola biru
n(S) = banyaknya muncul kejadian terambilnya 3 bola
n(A) = 5C2 x 4C1 =
n(A) = 12C3=
P(A) =
5. Pada sebuah kotak terdapat 10 kelereng yang terdiri dari 7 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna biru. Jika diambil 3 buah kelerang secara acak, maka peluang terambil ketiga kelereng tersebut berwarna merah adalah ...
Jawab : Rumus kombinasi:
Perhatikan jumlah seluruh kelereng = 7 + 3 = 10 atau n = 10 dan yang diambil 3 atau r = 3
berarti Ruang sampelnya adalah kombinasi 3 dari 10 atau
= 120
Kejadian terambil 3 dari 7 kelereng merah adalah kombinasi 3 dari 7 atau
= 35

P (3 kelereng merah) = =