Bab 5. Matriks Invers
5.1. Matriks Invers
Definisi :
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = In . Matriks B disebut invers matriks A ditulis A-1, merupakan matriks bujur sangkar berordo n.
Contoh :
Carilah invers dari matriks A =
Misal A-1 = maka berlaku =
Sehingga =
diperoleh 4 buah persamaan :
Dari 4 persamaan tersebut diperoleh :
Jadi A-1 =
Catatan :
Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang non singular.
Inver bila ada adalah unik atau tunggal atau hanya satu.
Berlaku sifat : (A-1 ) -1 = A
(AB) -1 = B-1 A-1
5.2. Matriks Adjoin (Classical Adjoint) dan Invers.
Misal matriks A = . Dan Kofaktor Aij , maka transpose dari matriks disebut Matriks Adjoin dari A.
Adj.A =
Contoh :
Tentukan matriks ajoin dari A =
Rumus : Adj A =
Agar lebih mudah : Pasangkan tanda pada matriks terlebih dahulu kemudian hitung minor pada masing-masing elemen pada tiap-tiap baris dan kolom.
Adj.A =
Jadi adj A =
Menentukan Invers suatu Matriks dengan Matriks Adjoin.
Rumus : A-1 = , Det.A 0
Contoh :
Tentukan invers dari matriks A =
Det. A = = 2
Adj. A = =
A-1 =
5.3. Hubungan dgn Transformasi Elementer
a. Bentuk Normal Suatu Matriks ( matriks yang mengandung matriks Identitas )
, , ,
Bentuk matriks berukuran ( mxn )dengan rank r > 0, selalu dapat diubah dengan transformasi elementer menjadi salah satu bentuk normal di atas.
Contoh :
A = dengan menggunakan transformasi elementer baris dan kolom dapat diubah ke bentuk normal : =
b. Mencari Invers dgn transformasi Elementer ( Cara Penyapuan )
Matriks bujur sangkar A berordo n yang non singular mempunyai bentuk normal In , maka selalu ada matriks bujur sangkar P dan Q sedemikian sehingga PAQ = In , di mana P di dapat dari sederetan transformasi elementer baris dan Q dengan sederetan transformasi elementer kolom terhadap matriks In . Dari PAQ = In diperoleh A-1 = QP ( yaitu dengan mengalikan ruas kiri dan kanan dengan P-1 dan Q-1 diperoleh A = P-1 Q-1 A = (QP)-1 )
Contoh :
A =
Cara Menentukan Matriks P :
dengan transformasi elementer baris H21(-1) , H31(-2) , H32(1) , H3(1/7) diperoleh matriks :
di peroleh matriks P =
Cara Menentukan Matriks Q :
dengan menggunakan transformasi elementer kolom K21(-3), K31(-2), K32(-4) diperoleh matriks :
diperoleh matriks Q =
Jadi A-1 = Q P = 1/7
5.4. Invers Kiri dan Kanan dari matriks yang tidak Bujur Sangkar.
Definisi :
Matriks A berukuran ( mx n ) disebut Invers Kiri , bila ada matriks B sedemikian sehingga BA = In (In adalah matriks identitas ordo n ). Dan disebut Invers Kanan , bila ada matriks C sedemikian sehingga AC = Im (Im adalah matriks identitas ordo m )
Catatan :
1. Matriks A ukuran (mxn) hanya mempunyai invers kiri, bila rank (A) = n , invers kanan bila rank(A) = m , dan tidak mempunyai invers kiri dan kanan bila rank(A) m n
2. Ukuran invers kiri maupun invers kanan adalah (nxm)
3.Jika matriks A mempunyai invers maka invers tersebut salah satuu saja kiri saja atau kanan saja.
4. Invers kiri atau kanan tidak tunggal.
5. Langkah – langkah menentukan invers :
1. Tentukan rank matriks A
2. Jika rank ( A ) = salah satu dari ukurannya maka invers kiri atau kanan
3. Untuk menentukan invers kiri atau kanan, ambil submatriks bujur sangkar ordo r = rank (A) yang non singular dengan cara menghilangkan baris atau kolom.
4. Tentukan invers submatriks tersebut.
5. Tambahkan baris atau kolom sesuai dengan jika tadi pada langkah 3 menghilangkan sebuah baris ke - i maka kita tinggal tambahkan sebuah kolom ke-i dengan kolom yang elemennya nol semua.
Contoh :
Tentukan invers dari A = ukuran matriks (2x3)
Rank (A) = 2 , jadi A mempunyai invers kanan.
Ambil sub matriks ordo 2 : Misal B = yaitu dengan menghilangkan kolom 3 matriks A.
B-1 = -1/3 maka A-1 = 1/3
Dengan cara yang sama untuk submatriks dengan menghilangkan kolom 1 atau 2
Selasa, 25 Mei 2010
himpunan part 2
BAB I
HIMPUNAN
A. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua hipotesis yang mungkin logis hubungan antara koleksi terbatas set (kelompok benda . Mereka digunakan untuk mengajar dasar teori himpunan , serta menggambarkan hubungan diatur sederhana dalam probabilitas , logika , statistik , linguistik dan ilmu komputer .
diagram Venn biasanya terdiri tumpang tindih lingkaran .Bagian dalam lingkaran simbolis merupakan elemen dari himpunan, sedangkan bagian luar merupakan unsur yang tidak menjadi anggota dari himpunan. Misalnya, dalam satu set diagram Venn-dua, satu lingkaran dapat mewakili semua kelompok kayu objek, sedangkan lingkaran yang lain mungkin mewakili himpunan semua tabel.. Daerah tumpang tindih atau persimpangan kemudian akan mewakili himpunan semua meja kayu. selain dapat digunakan kalangan Bentuk, dan ini diperlukan lebih dari tiga set.
Diagram Venn sangat mirip dengan diagram Euler , tetapi sedangkan diagram Venn untuk set komponen n harus berisi semua n 2 zona hipotetis mungkin sesuai dengan beberapa kombinasi yang disertakan atau dikecualikan dalam masing-masing set komponen, diagram Euler hanya berisi zona sebenarnya mungkin dalam konteks tertentu. Dalam diagram Venn, zona teduh mungkin merupakan sebuah zona kosong, sedangkan di diagram Euler zona yang bersangkutan akan hilang dari diagram Misalnya, jika satu set merupakan produk susu "" dan lain "keju", maka diagram Venn berisi zona untuk keju yang tidak produk-produk susu. Dengan asumsi bahwa dalam konteks "keju" berarti beberapa jenis produk susu, diagram Euler akan memiliki zona keju sepenuhnya terkandung dalam zona-produk susu, tidak ada zona untuk (tidak ada) keju non-susu Ini berarti bahwa jumlah kontur meningkat, diagram Euler biasanya kurang visual kompleks daripada diagram Venn setara, terutama jika jumlah-kosong persimpangan non kecil
SEJARAH
Diagram Venn diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn (1834-1923) dalam sebuah makalah berjudul "Pada diagram dan Mekanik Representasi proposisi dan Reasonings" dalam "Philosophical Majalah dan Jurnal Ilmu", tentang cara-cara yang berbeda untuk mewakili proposisi oleh diagram .Penggunaan jenis diagram dalam logika formal , menurut Ruskey dan M. Weston (2005), adalah "bukan sejarah yang mudah dilacak, tapi yang pasti bahwa diagram yang populer terkait dengan Venn, di Bahkan, jauh lebih awal yang berasal. Mereka benar terkait dengan Venn, Namun, karena ia komprehensif mengamati dan diresmikan penggunaannya, dan adalah yang pertama untuk menggeneralisasi mereka ".
Dalam kalimat pembuka nya artikel Venn 1880 menyatakan: "Skema representasi diagram telah begitu akrab diperkenalkan ke risalah logis selama terakhir abad atau lebih, bahwa banyak pembaca, bahkan mereka yang telah membuat studi noprofessional logika, mungkin seharusnya berkenalan dengan bangsa umum dan objek perangkat tersebut Dari skema ini satu-satunya, yaitu.. yang biasa disebut "lingkaran Eulerian, "telah bertemu dengan penerimaan umum ...".Yang pertama untuk menggunakan Venn "diagram Istilah" Clarence Irving Lewis pada tahun 1918, dalam bukunya "A Survey of Symbolic Logic".
Diagram Venn sangat mirip dengan diagram Euler , yang ditemukan oleh Leonhard Euler (1708-1783) di abad ke-18. [6] M. E. Baron telah mencatat bahwa Leibniz (1646-1716) di abad ke-17 dihasilkan diagram yang sama sebelum Euler, Namun, banyak itu tidak diterbitkan. Dia juga mengamati bahkan diagram Euler-seperti sebelumnya oleh Ramon Lull di abad ke-13
Dalam diagram Venn abad ke-20 dikembangkan lebih lanjut. DW Henderson pada tahun 1963 menunjukkan bahwa keberadaan diagram Venn-n dengan n kali lipat simetri rotasi tersirat bahwa n adalah prima Ia juga menunjukkan bahwa seperti diagram Venn simetris ada jika n adalah 5 atau 7. Pada tahun 2002 Peter Hamburger menemukan diagram Venn simetris untuk n = 11 dan pada tahun 2003, Griggs, Killian, dan Savage menunjukkan bahwa diagram Venn simetris ada untuk semua bilangan prima lainnya Jadi simetris diagram Venn ada jika dan hanya jika n adalah bilangan prima.
.Diagram Venn dan diagram Euler dimasukkan sebagai bagian dari instruksi dalam teori himpunan sebagai bagian dari matematika baru gerakan pada 1960-an. Sejak itu, mereka juga telah diadopsi oleh bidang kurikulum lain seperti membaca.
B. HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan smesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.
Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:
1.digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.
2. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
3. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutupsederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan .
. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakn himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
C. OPERASI HIMPUNAN
Gabungan (Union)
Gabungan dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan semua elemen anggota A atau anggota B
A B = { x | x S , x A atau x B }
Irisan ( Interseksi )
Irisan dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan semua elemen dalam S sedemikian hingga x adalah anggota A dan sekaligus anggota B
A B = { x | x S , x A dan x B }
Komplemen
Komplemen himpunan A (ditulis Ac atau atau ~ A) adalah himpunan semua elemen x dalam S sedemikian hingga x bukan anggota A.
Ac = { x | x S, x A }
Selisih
Selisih himpunan B dari himpunan A (ditulis A - B) adalah himpunan semua elemen dalam S sedemikian hingga x adalah anggota A tetapi bukan anggota B
A - B = { x | x S , x A dan x B }
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup dari dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan yang elemennya ada pada A atau B tetapi tidak pada keduanya.
A B = (A B) – ( A B) = (A – B) ( B – A)
Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A, B, C adalah himpunan – himpunan dalam S, maka operasi himpunan memenuhi beberapa hukum berikut :
1. Hukum Komutatif
A B = B A ; A B = B A ; A B = B A
2. Hukum Asosiatif
( A B ) C = A ( B C ) ;
( A B ) A = A ( B A ) ;
( A B ) C = A ( B C )
3. Hukum Distributif
( A B ) C = ( A C ) ( B C );
( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ;
4. Hukum Identitas
A = A ; A S = A ; A = A
5. Hukum Null
A S = S ; A = ; A A =
6. Hukum Komplemen
A Ac = S ; A Ac =
7. Hukum Idempoten
A A = A ; A A = A
8. Hukum Involusi
( Ac ) c = A
9. Hukum Absorbsi (penyerapan)
A ( A B ) = A ; A ( A B)
10 Hukum de Morgan
( A B ) c = Ac Bc ; ( A B) c = Ac Bc
11. Hukum I / O
c = S ; S c =
BAB I I
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan (Aturan Perkalian dan Penjumlahan)
Jika suatu peristiwa terjadi dengan p cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan :
a. m.n cara berbeda (aturan perkalian)
yang ditandai dengan kata perangkai “ dan “
b. (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)
Yang ditandai dengan kata perangkai “atau”
Contoh ;
Seorang anak akan menempuh perjalanan dari kota A ke C dengan rute perjalanan sebagai berikut :
Dari gambar di atas, terlihat ada 6 rute berbeda dari kota A ke C, yang diperoleh dari 2 rute dari A ke B dan masing-masing 3 rute dari B ke C, sehingga banyaknya rute dari A ke C adalah 2.3 = 6 rute berbeda.
Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)
Dalam pembahasan mengenai filling slots ini biasanya berkaitan dengan angka atau bilangan. Contoh
Disediakan bilangan-bilangan 1,2,3,4 dan 5 yang akan dibuat nomor peserta yang terdiri dari 3 angka. Beberapa banyak bilangan ganjil yang dapat terbentuk jika tidak boleh terdapat angka yang sama.
Jawab : untuk menyelesaikan soal di atas buatlah 3 kotak
I II III
Karena yang diminta bilangan ganjil, maka yang dapat menempati kotak/ kolom ke III hanya 3 angka yaitu : 1, 3 dan 5. Setelah kolom III terisi kemudian kotak ke III diisi dengan angka lain yang belum diletakkan di kotak III yaitu 5-1 = 4, demikian seterusnya untuk kotak satu dengan 4-1 = 3 angka.
Secara skema seperti berikut :
Jadi banyak bilangan = 3 . 4 . 3 = 36 angka
B. PERMUTASI
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut permutasi.
Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :
MACAM-MACAM PERMUTASI
Permutasi pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:
di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.
Permutasi tanpa pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:
di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.
Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.
Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:
karena 0! = 1! = 1
Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.
Permutasi-k dari n benda
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
ab ac ad
ba bc bd
ca cb cd
da db dc
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
abc abd acb acd adb adc
bac bca bad bda bcd bdc
cab cba cad cda cbd cdb
dab dba dac dca dbc dcb
Permutasi siklis
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.
h a
g b
f c
e d
Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:
abcdefgh
bcdefgha
cdefghab
defghabc
efghabcd
fghabcde
ghabcdef
habcdefg
Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.
a bcdefgh
--------
^ bagian yang dipermutasikan
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n − 1)!.
SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1) Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
jawabi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
2) Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab : Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
3) Sebuah panitia yang terdiri dari enam orang terdiri dari Ali, Budi, Cokro, Dewi, Edi, dan Franky akan memilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara pemilihan ini bisa dilaksanakan ?
Jawab : Pengurus bisa dilakukan dalam tiga langkah berurutan : pilihlah ketua, pilihlah sekretaris, dan pilihlah bendahara. Ketua bisa dipilih dalam 6 cara. Begitu, ketua telah dipilih, sekretaris bisa dipilih dalam 5 cara. Setelah pemilihan ketua dan sekretaris, bendahara bisa dipilih dalam empat cara. Oleh karena itu menurut prinsip perkalian, jumlah total dari kemungkinan-kemungkinan itu adalah
6.5.4 = 120 cara.
4) Dari 40 nomor rekening akan diundi 3 untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama akan memperoleh uang tunai $1000, undian urutan kedua memperoleh paket wisata dan undian urutan ketiga memperoleh sebuah sedan. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas satu hadiah?
Jawab : = 59280
5) Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.
Jawab : Ada berapa cara pemisahan?
B. KOMBINASI
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.
Kombinasi r dari n obyek adalah
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.
MACAM MACAM KOMBINASI
Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.
Kombinasi pengulangan
Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1. Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?
Jawab : N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer =
2. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada berapa cara.?
Jawab :
3. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah ….
Jawab : Ini adalah soal kombinasi : dimana
4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah ….
jawab :n(A) = banyaknya muncul kejadian 2 bola merah dan 1 bola biru
n(S) = banyaknya muncul kejadian terambilnya 3 bola
n(A) = 5C2 x 4C1 =
n(A) = 12C3=
P(A) =
5. Pada sebuah kotak terdapat 10 kelereng yang terdiri dari 7 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna biru. Jika diambil 3 buah kelerang secara acak, maka peluang terambil ketiga kelereng tersebut berwarna merah adalah ...
Jawab : Rumus kombinasi:
Perhatikan jumlah seluruh kelereng = 7 + 3 = 10 atau n = 10 dan yang diambil 3 atau r = 3
berarti Ruang sampelnya adalah kombinasi 3 dari 10 atau
= 120
Kejadian terambil 3 dari 7 kelereng merah adalah kombinasi 3 dari 7 atau
= 35
P (3 kelereng merah) = =
HIMPUNAN
A. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua hipotesis yang mungkin logis hubungan antara koleksi terbatas set (kelompok benda . Mereka digunakan untuk mengajar dasar teori himpunan , serta menggambarkan hubungan diatur sederhana dalam probabilitas , logika , statistik , linguistik dan ilmu komputer .
diagram Venn biasanya terdiri tumpang tindih lingkaran .Bagian dalam lingkaran simbolis merupakan elemen dari himpunan, sedangkan bagian luar merupakan unsur yang tidak menjadi anggota dari himpunan. Misalnya, dalam satu set diagram Venn-dua, satu lingkaran dapat mewakili semua kelompok kayu objek, sedangkan lingkaran yang lain mungkin mewakili himpunan semua tabel.. Daerah tumpang tindih atau persimpangan kemudian akan mewakili himpunan semua meja kayu. selain dapat digunakan kalangan Bentuk, dan ini diperlukan lebih dari tiga set.
Diagram Venn sangat mirip dengan diagram Euler , tetapi sedangkan diagram Venn untuk set komponen n harus berisi semua n 2 zona hipotetis mungkin sesuai dengan beberapa kombinasi yang disertakan atau dikecualikan dalam masing-masing set komponen, diagram Euler hanya berisi zona sebenarnya mungkin dalam konteks tertentu. Dalam diagram Venn, zona teduh mungkin merupakan sebuah zona kosong, sedangkan di diagram Euler zona yang bersangkutan akan hilang dari diagram Misalnya, jika satu set merupakan produk susu "" dan lain "keju", maka diagram Venn berisi zona untuk keju yang tidak produk-produk susu. Dengan asumsi bahwa dalam konteks "keju" berarti beberapa jenis produk susu, diagram Euler akan memiliki zona keju sepenuhnya terkandung dalam zona-produk susu, tidak ada zona untuk (tidak ada) keju non-susu Ini berarti bahwa jumlah kontur meningkat, diagram Euler biasanya kurang visual kompleks daripada diagram Venn setara, terutama jika jumlah-kosong persimpangan non kecil
SEJARAH
Diagram Venn diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn (1834-1923) dalam sebuah makalah berjudul "Pada diagram dan Mekanik Representasi proposisi dan Reasonings" dalam "Philosophical Majalah dan Jurnal Ilmu", tentang cara-cara yang berbeda untuk mewakili proposisi oleh diagram .Penggunaan jenis diagram dalam logika formal , menurut Ruskey dan M. Weston (2005), adalah "bukan sejarah yang mudah dilacak, tapi yang pasti bahwa diagram yang populer terkait dengan Venn, di Bahkan, jauh lebih awal yang berasal. Mereka benar terkait dengan Venn, Namun, karena ia komprehensif mengamati dan diresmikan penggunaannya, dan adalah yang pertama untuk menggeneralisasi mereka ".
Dalam kalimat pembuka nya artikel Venn 1880 menyatakan: "Skema representasi diagram telah begitu akrab diperkenalkan ke risalah logis selama terakhir abad atau lebih, bahwa banyak pembaca, bahkan mereka yang telah membuat studi noprofessional logika, mungkin seharusnya berkenalan dengan bangsa umum dan objek perangkat tersebut Dari skema ini satu-satunya, yaitu.. yang biasa disebut "lingkaran Eulerian, "telah bertemu dengan penerimaan umum ...".Yang pertama untuk menggunakan Venn "diagram Istilah" Clarence Irving Lewis pada tahun 1918, dalam bukunya "A Survey of Symbolic Logic".
Diagram Venn sangat mirip dengan diagram Euler , yang ditemukan oleh Leonhard Euler (1708-1783) di abad ke-18. [6] M. E. Baron telah mencatat bahwa Leibniz (1646-1716) di abad ke-17 dihasilkan diagram yang sama sebelum Euler, Namun, banyak itu tidak diterbitkan. Dia juga mengamati bahkan diagram Euler-seperti sebelumnya oleh Ramon Lull di abad ke-13
Dalam diagram Venn abad ke-20 dikembangkan lebih lanjut. DW Henderson pada tahun 1963 menunjukkan bahwa keberadaan diagram Venn-n dengan n kali lipat simetri rotasi tersirat bahwa n adalah prima Ia juga menunjukkan bahwa seperti diagram Venn simetris ada jika n adalah 5 atau 7. Pada tahun 2002 Peter Hamburger menemukan diagram Venn simetris untuk n = 11 dan pada tahun 2003, Griggs, Killian, dan Savage menunjukkan bahwa diagram Venn simetris ada untuk semua bilangan prima lainnya Jadi simetris diagram Venn ada jika dan hanya jika n adalah bilangan prima.
.Diagram Venn dan diagram Euler dimasukkan sebagai bagian dari instruksi dalam teori himpunan sebagai bagian dari matematika baru gerakan pada 1960-an. Sejak itu, mereka juga telah diadopsi oleh bidang kurikulum lain seperti membaca.
B. HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan smesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.
Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:
1.digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.
2. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
3. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutupsederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan .
. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakn himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
C. OPERASI HIMPUNAN
Gabungan (Union)
Gabungan dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan semua elemen anggota A atau anggota B
A B = { x | x S , x A atau x B }
Irisan ( Interseksi )
Irisan dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan semua elemen dalam S sedemikian hingga x adalah anggota A dan sekaligus anggota B
A B = { x | x S , x A dan x B }
Komplemen
Komplemen himpunan A (ditulis Ac atau atau ~ A) adalah himpunan semua elemen x dalam S sedemikian hingga x bukan anggota A.
Ac = { x | x S, x A }
Selisih
Selisih himpunan B dari himpunan A (ditulis A - B) adalah himpunan semua elemen dalam S sedemikian hingga x adalah anggota A tetapi bukan anggota B
A - B = { x | x S , x A dan x B }
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup dari dua buah himpunan A dan B (ditulis A B) adalah himpunan yang elemennya ada pada A atau B tetapi tidak pada keduanya.
A B = (A B) – ( A B) = (A – B) ( B – A)
Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A, B, C adalah himpunan – himpunan dalam S, maka operasi himpunan memenuhi beberapa hukum berikut :
1. Hukum Komutatif
A B = B A ; A B = B A ; A B = B A
2. Hukum Asosiatif
( A B ) C = A ( B C ) ;
( A B ) A = A ( B A ) ;
( A B ) C = A ( B C )
3. Hukum Distributif
( A B ) C = ( A C ) ( B C );
( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ;
4. Hukum Identitas
A = A ; A S = A ; A = A
5. Hukum Null
A S = S ; A = ; A A =
6. Hukum Komplemen
A Ac = S ; A Ac =
7. Hukum Idempoten
A A = A ; A A = A
8. Hukum Involusi
( Ac ) c = A
9. Hukum Absorbsi (penyerapan)
A ( A B ) = A ; A ( A B)
10 Hukum de Morgan
( A B ) c = Ac Bc ; ( A B) c = Ac Bc
11. Hukum I / O
c = S ; S c =
BAB I I
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. KAIDAH PENCACAHAN
Kaidah pencacahan (Aturan Perkalian dan Penjumlahan)
Jika suatu peristiwa terjadi dengan p cara yang berbeda dan ada peristiwa lain terjadi dengan q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dengan :
a. m.n cara berbeda (aturan perkalian)
yang ditandai dengan kata perangkai “ dan “
b. (m + n) cara berbeda (aturan penjumlahan)
Yang ditandai dengan kata perangkai “atau”
Contoh ;
Seorang anak akan menempuh perjalanan dari kota A ke C dengan rute perjalanan sebagai berikut :
Dari gambar di atas, terlihat ada 6 rute berbeda dari kota A ke C, yang diperoleh dari 2 rute dari A ke B dan masing-masing 3 rute dari B ke C, sehingga banyaknya rute dari A ke C adalah 2.3 = 6 rute berbeda.
Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)
Dalam pembahasan mengenai filling slots ini biasanya berkaitan dengan angka atau bilangan. Contoh
Disediakan bilangan-bilangan 1,2,3,4 dan 5 yang akan dibuat nomor peserta yang terdiri dari 3 angka. Beberapa banyak bilangan ganjil yang dapat terbentuk jika tidak boleh terdapat angka yang sama.
Jawab : untuk menyelesaikan soal di atas buatlah 3 kotak
I II III
Karena yang diminta bilangan ganjil, maka yang dapat menempati kotak/ kolom ke III hanya 3 angka yaitu : 1, 3 dan 5. Setelah kolom III terisi kemudian kotak ke III diisi dengan angka lain yang belum diletakkan di kotak III yaitu 5-1 = 4, demikian seterusnya untuk kotak satu dengan 4-1 = 3 angka.
Secara skema seperti berikut :
Jadi banyak bilangan = 3 . 4 . 3 = 36 angka
B. PERMUTASI
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut permutasi.
Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :
MACAM-MACAM PERMUTASI
Permutasi pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:
di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.
Permutasi tanpa pengulangan
Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:
di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.
Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.
Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:
karena 0! = 1! = 1
Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.
Permutasi-k dari n benda
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
ab ac ad
ba bc bd
ca cb cd
da db dc
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
abc abd acb acd adb adc
bac bca bad bda bcd bdc
cab cba cad cda cbd cdb
dab dba dac dca dbc dcb
Permutasi siklis
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.
h a
g b
f c
e d
Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:
abcdefgh
bcdefgha
cdefghab
defghabc
efghabcd
fghabcde
ghabcdef
habcdefg
Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.
a bcdefgh
--------
^ bagian yang dipermutasikan
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak (n − 1)!.
SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1) Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
jawabi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
2) Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab : Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
3) Sebuah panitia yang terdiri dari enam orang terdiri dari Ali, Budi, Cokro, Dewi, Edi, dan Franky akan memilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara pemilihan ini bisa dilaksanakan ?
Jawab : Pengurus bisa dilakukan dalam tiga langkah berurutan : pilihlah ketua, pilihlah sekretaris, dan pilihlah bendahara. Ketua bisa dipilih dalam 6 cara. Begitu, ketua telah dipilih, sekretaris bisa dipilih dalam 5 cara. Setelah pemilihan ketua dan sekretaris, bendahara bisa dipilih dalam empat cara. Oleh karena itu menurut prinsip perkalian, jumlah total dari kemungkinan-kemungkinan itu adalah
6.5.4 = 120 cara.
4) Dari 40 nomor rekening akan diundi 3 untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama akan memperoleh uang tunai $1000, undian urutan kedua memperoleh paket wisata dan undian urutan ketiga memperoleh sebuah sedan. Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas satu hadiah?
Jawab : = 59280
5) Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.
Jawab : Ada berapa cara pemisahan?
B. KOMBINASI
Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.
Kombinasi r dari n obyek adalah
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?
Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.
MACAM MACAM KOMBINASI
Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.
Kombinasi pengulangan
Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:
Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANNYA
1. Manajer SDM mengajukan 10 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari Kantor Pusat, 3 calon dari Kantor cabang dan 2 dari Program Pelatihan manajer. Berapa cara memilih 6 dari 10 kandidat manajer?
Jawab : N = Pemilihan 6 dari 10 kandidat manajer =
2. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada berapa cara.?
Jawab :
3. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah ….
Jawab : Ini adalah soal kombinasi : dimana
4. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah ….
jawab :n(A) = banyaknya muncul kejadian 2 bola merah dan 1 bola biru
n(S) = banyaknya muncul kejadian terambilnya 3 bola
n(A) = 5C2 x 4C1 =
n(A) = 12C3=
P(A) =
5. Pada sebuah kotak terdapat 10 kelereng yang terdiri dari 7 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna biru. Jika diambil 3 buah kelerang secara acak, maka peluang terambil ketiga kelereng tersebut berwarna merah adalah ...
Jawab : Rumus kombinasi:
Perhatikan jumlah seluruh kelereng = 7 + 3 = 10 atau n = 10 dan yang diambil 3 atau r = 3
berarti Ruang sampelnya adalah kombinasi 3 dari 10 atau
= 120
Kejadian terambil 3 dari 7 kelereng merah adalah kombinasi 3 dari 7 atau
= 35
P (3 kelereng merah) = =
himpunan
A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda yang mempunyai syarat dan ketentuan. Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Sejarah Ditemukannya Himpunan
Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor(1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertamakali cabang matematika ini. Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama mengenai tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga.
Bunga salju Koch adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.
Kontribusi dari analisis klasik
Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstraß yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.
Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.
Aspek dari deskripsi himpunan
Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.
Contoh
Pohon dan pakis adalah contoh fractal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detil yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.
Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detil yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Notasi Himpunan
Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{} atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
B. CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
Untuk menyatakan suatu himpunan pada umumnya dipakai tiga cara, yaitu:
1. Cara tabulasi / pendaftaran (roster method)
Yaitu menyatakan himpunan dengan mendaftar semua anggota – anggotanya. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
Contoh :
2. Cara deskripsi
Yaitu menyatakan himpunan dengan menuliskan syarat – syarat keanggotaannya. Tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Contoh:
3. Cara pencirian (ruler method)
Yaitu cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya.
Contoh :
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
C. MACAM – MACAM HIMPUNAN
Berdasarkan banyaknya anggota himpunan dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Himpunan berhingga (finite set)
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah atau anggota dari suatu himpunan banyaknya dapat dihitung.
Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
c. C =
n(C) = 7, 7 bilangan cacah.
b. Himpunan tak berhingga (in finite set)
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q=
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir atau banyaknya anggota dari suatu himpunan tidak dapat dihitung. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.
Selain itu masih ada beberapa jenis himpunan yaitu:
1. Himpunan semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakan himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
2. Himpunan bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpuan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B dikatakan superset dari A. notasinya .
Dinotasikan dengan :
dibaca “ A himpunan bagian dari himpunan B”
, dibaca “ A bukan himpunan bagian dari himpunan B”
Contoh:
Misalkan A = { 1, 2, 3 } dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka .
3. Himpunan kosong
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A = atau A = dan n(A) = 0.
Perhatikan contoh di bawah ini!
1. B =
2. C =
3. D =
4. E = dan F =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .
4. Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A =
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B =
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
5. Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.
Contoh 9:
R =
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.
6. Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.
b. Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.
Tetapi 0 R dan 3 Q.
Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A = dapat ditulis
b. B = dapat ditulis
7. Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 12
R =
Hubungan Antar Himpunan
1. Himpunan yang Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya. Notasinya A = B <—> A B.
Contoh:
Jika A = { a, b, c } dan B = { c, a, b } maka A = B
2. Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasinya A ~ B <—> n(A) = n(B)
Contoh:
Jika A = { 1, 2, 3,4 } dan B = { s, a, p, i } maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4
D. KEANGGOTAAN SUATU HIMPUNAN
Jika suatu obyek x adalah elemen dari sebuah himpunan A, artinya A memuat x sebagai salah salah satu dari elemen-elemen maka ditulis x A. Yang dapat dibaca “ x termasuk A “ atau “x di dalam A “. Jika di pihak lain suatu obyek x bukanlah anggota suatu himpunan A, artinya A tidak memuat x sebagai salah satu dari elemen-elemen maka dapat ditulis x A. Jika B= { 1, 3, 5, 6 } maka 1 B, 5 B, 2 B, 4 B.
9 5 8 6 7 4 2 1 3
2 3 7 8 1 9 4 5 6
4 6 1 5 2 3 9 8 7
6 9 3 2 5 1 8 7 4
8 1 2 4 6 7 5 3 9
5 7 4 3 9 8 1 6 2
1 8 6 9 3 2 7 4 5
7 2 5 1 4 6 3 9 8
3 4 9 7 8 5 6 2 1
1. Di dalam satu kolom harus di isi angka 1-9 dan tidak boleh berulang
2. Di dalam satu baris harus di isi angka 1-9 dan tidak boleh berulang
3. Di 9 kotak kecil harus di isi angka 1-9 dan juga tidak boleh berulang
Himpunan adalah kumpulan objek yang berbeda yang mempunyai syarat dan ketentuan. Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Sejarah Ditemukannya Himpunan
Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor(1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertamakali cabang matematika ini. Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama mengenai tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga.
Bunga salju Koch adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.
Kontribusi dari analisis klasik
Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstraß yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.
Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.
Aspek dari deskripsi himpunan
Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.
Contoh
Pohon dan pakis adalah contoh fractal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).
Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detil yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.
Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detil yang tidak terlihat sebelumnya.
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Notasi Himpunan
Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
{} atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
AC Komplemen
Himpunan kuasa
B. CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
Untuk menyatakan suatu himpunan pada umumnya dipakai tiga cara, yaitu:
1. Cara tabulasi / pendaftaran (roster method)
Yaitu menyatakan himpunan dengan mendaftar semua anggota – anggotanya. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
Contoh :
2. Cara deskripsi
Yaitu menyatakan himpunan dengan menuliskan syarat – syarat keanggotaannya. Tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Contoh:
3. Cara pencirian (ruler method)
Yaitu cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya.
Contoh :
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
C. MACAM – MACAM HIMPUNAN
Berdasarkan banyaknya anggota himpunan dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Himpunan berhingga (finite set)
Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah atau anggota dari suatu himpunan banyaknya dapat dihitung.
Contoh 6:
a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.
b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.
c. C =
n(C) = 7, 7 bilangan cacah.
b. Himpunan tak berhingga (in finite set)
Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
Contoh 7:
Q=
Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir atau banyaknya anggota dari suatu himpunan tidak dapat dihitung. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.
Selain itu masih ada beberapa jenis himpunan yaitu:
1. Himpunan semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.
Contoh 5:
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = ,
U = ,
U = atau himpunan lain yang memuat A.
b. Apabila kita membicarakan himpunan B = , maka yang menjadi himpunan semestanya adalah :
U =
U =
U =
2. Himpunan bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpuan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B dikatakan superset dari A. notasinya .
Dinotasikan dengan :
dibaca “ A himpunan bagian dari himpunan B”
, dibaca “ A bukan himpunan bagian dari himpunan B”
Contoh:
Misalkan A = { 1, 2, 3 } dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka .
3. Himpunan kosong
Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0 atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau . Jadi apabila A = , maka A = atau A = dan n(A) = 0.
Perhatikan contoh di bawah ini!
1. B =
2. C =
3. D =
4. E = dan F =
Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong, karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .
4. Himpunan Terbilang
Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau dihitung satu persatu.
Contoh 8:
a. A =
Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.
b. B =
Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.
5. Himpunan Tak Terbilang
Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu.
Contoh 9:
R =
Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) = ~.
6. Himpunan Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.
Contoh 10:
a. P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.
b. Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.
Tetapi 0 R dan 3 Q.
Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.
Contoh
a. A = dapat ditulis
b. B = dapat ditulis
7. Himpunan Tak Terbatas
Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas.
Contoh 12
R =
Hubungan Antar Himpunan
1. Himpunan yang Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya. Notasinya A = B <—> A B.
Contoh:
Jika A = { a, b, c } dan B = { c, a, b } maka A = B
2. Himpunan yang Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasinya A ~ B <—> n(A) = n(B)
Contoh:
Jika A = { 1, 2, 3,4 } dan B = { s, a, p, i } maka A ~ B sebab n(A) = n(B) = 4
D. KEANGGOTAAN SUATU HIMPUNAN
Jika suatu obyek x adalah elemen dari sebuah himpunan A, artinya A memuat x sebagai salah salah satu dari elemen-elemen maka ditulis x A. Yang dapat dibaca “ x termasuk A “ atau “x di dalam A “. Jika di pihak lain suatu obyek x bukanlah anggota suatu himpunan A, artinya A tidak memuat x sebagai salah satu dari elemen-elemen maka dapat ditulis x A. Jika B= { 1, 3, 5, 6 } maka 1 B, 5 B, 2 B, 4 B.
9 5 8 6 7 4 2 1 3
2 3 7 8 1 9 4 5 6
4 6 1 5 2 3 9 8 7
6 9 3 2 5 1 8 7 4
8 1 2 4 6 7 5 3 9
5 7 4 3 9 8 1 6 2
1 8 6 9 3 2 7 4 5
7 2 5 1 4 6 3 9 8
3 4 9 7 8 5 6 2 1
1. Di dalam satu kolom harus di isi angka 1-9 dan tidak boleh berulang
2. Di dalam satu baris harus di isi angka 1-9 dan tidak boleh berulang
3. Di 9 kotak kecil harus di isi angka 1-9 dan juga tidak boleh berulang
Langganan:
Postingan (Atom)